LaTeX kaputt

die Norm hier war in **2 ?

Ich verstehe diesen Übergang nicht

gleichzeitig

In endlichen Dimensionen gilt diese Behauptung immer. Es ist eine Folgerung und nicht unbedingt eine Zusatzforderung meiner Meinung nach. (In unendlichen Dimensionen müsste U dafür zusätzlich abgeschlossen sein, Projektionssatz. In endlichen Dimensionen sind Untervektorräume aber immer abgeschlossen.)

In diesem Schritt des Beweises war mir noch nicht bewusst, dass die Bedingung mit dem q gefordert wird, um später die geometrische Reihe nutzen zu können. Es wäre hilfreich, wenn die Beweisschritte ausführlicher kommentiert wären.

hier steht keine Implikation

zu k, nicht zu d?

muss die Norm hier nicht in Quadrat stehen?

Ich finde es hier irreführend, dass \(f_k\) und \(d_k\) den gleichen index haben, da die Konvergenz unabhängig ist. Die Konvergenz von \(f_k\) bezieht sich auf die Iteration und Lösung des Algorithmus (konsistenz) und die von \(d_k\) auf Änderungen in den Eingabedaten, welche während der Iterationen gleich bleiben (stabilität). Beide müssen unabhängig konvergieren, damit Konvergenz gilt.

Fehlt hier ein Komma?

In der numpy implementation von SVD werden \(V\) und \(W\) immer Normiert. Ist hier also notwendig, dass keine Normalisierung der orthogonalen Vektoren geschieht?

Müsste es hier nicht so aussehen: $$\sum_k |A_{lk}| = \max_j \sum_k |A_{jk}|$$

Wenn ja, müsste das auch im Skript ausgebessert werden.

Woher kommen diese Zahlen?

Hier sollte eigentlich \(2^{p+1}\) stehen. Ändere ich beim nächsten Update.

Hier ist bei der Konvertieren etwas schiefgelaufen

weniger als n sollten auch möglich sein, wenn die Multiplizität dementsprechend höher ist

Hier und auch weiter unten erwische ich mich immer wieder diese Summen in eine Summe in Summennotation umzuwandeln, also hier $b_i = 𝛴_{k=i}^{n} a_{i,k}x_k$.

Für die Implementierung und für das Verständnis finde ich diese Schreibweise tatsächlich besser und fände es persönlich gut, wenn Summen im Skript neben der "..."-Notation auch in Summenschreibweise angegeben werden.

Das könnte aber auch nur eine persönliche Vorliebe von mir sein.

Müsste es nicht dividieren heißen?

Sollte das hier nicht \(L^{(1)}{k,1}\) sein? Und in der allgemeinen Formel \(L{k,j}^{(j)}\)

Was ich im Skript noch gut fände, wäre ein Beispiel für eine LR-Zerlegung mit Pivotsuche. Das ist aber nur ein Vorschlag, keine Notwendigkeit :)

ist (i) hier (2)?

Ist der Rechenaufwand der LR-Zerlegung hier nicht gleich groß zum Aufwand des Invertierens?

Bezieht sich \(l_{j+1,j}\) hier auf den Faktor mit welchem man die j-te Zeile multiplizieren muss um den j+1-ten Eintrag der j-ten Spalte zu Eliminieren?

Wie kommt man auf diesen Rechenaufwand?

was ist das für eine Menge

Wenn die Matrix PA symmetrisch und positiv definit ist, lässt sie sich mittels der LDL^T-Zerlegung in die Form PA=LDL^T zerlegen. Dabei ist L eine untere Dreiecksmatrix und D eine Diagonalmatrix. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit L^−1 bzw. (L^T)^−1, kann man die Matrix L eliminieren, sodass R=DL^T übrig bleibt. Es ist wichtig zu beachten, dass L^T nicht direkt die Inverse von R ist, da R durch die Diagonalmatrix D skaliert ist.

Hallo, in der Vorlesung haben wir geschrieben dass der Gesamtaufwand n^3 wäre, für welche Art von Rechnung wäre es dann n^2+n wie im Skript ?

(für die) / der

Soweit ich mich erinnere, hieß es in der Vorlesung, (1, ..., n) und (i1, ..., in) seien eigentlich Tupel keine Mengen, deswegen wären runde Klammern passender.

Hier wird geschrieben, dass die Inverse einer Elementarmatrix Lj durch Umkehrung des Vorzeichens der Einträge li, j für i= j+1, ...,n gebildet werden kann. Könnten Sie erklären, wie diese Umkehrung der Vorzeichen die numerische Stabilität der LR-Zerlegung beeinflusst, insbesondere im Hinblick auf Rundungsfehler bei grossen Matrizen?

*Der Aufwand

Ich habe im Internet gesehen, dass man eine Einheitsmatrix bei der zwei Zeilen vertauscht sind oder eine Zeile mit einem Skalar multipliziert wurde auch als Elementarmatrix bezeichnet. Die Gestalt ist also nicht so, wie hier beschrieben. Bei einer Frobeniusmatrix ergibt sich genau das, was in Bild 2.10 dargestellt ist.

Warum ist hier j < k notwendig

Was ist der Unterschied zwischen einer „direkten Lösung“ und einer „indirekten Lösung“? Welche Vorteile bietet es, eine direkte Lösungsmethode zu verwenden?

Kann man für Division und Wurzel ziehen auch eine feste Anzahl an FLOPS angeben, oder ist das Hardware-abhängig?

Bedeutet das, dass die Typen Addition und Multiplikation zum Typ FLOP werden, also eine Addition und eine Multiplikation zusammen zwei FLOPs sind, oder bedeutet das, dass wirklich die Hintereinanderanwendung von Multiplikation und Addition zusammen einen FLOP ergeben, also einen anstatt zwei. Dies ist in unserem Fall tatsächlich auch relevant für die Hausaufgabe.

Wieso muss x0 größer als 0 sein?

Wie ist die führende Ordnung definiert? Hätte angenommen es ist 2n² und somit O(n²). Gerade auch weil die O-Notation gerne zum abschätzen der Laufzeit verwendet wird.

Sind die folgenden Ausschlusskriterien nicht genügend um sicher sagen zu können das eine Matrix nicht regulär ist? - Wenn mindestens eine 0er Zeile oder Spalte existiert (=kein voller Rang) ? - Wenn mindestens eine 0 auf der Hauptdiagonale existiert? - Wenn Matrix nicht quadratisch ist? - Wenn eine Blockdiagonalmatrix vorliegt wo mindestens ein Block singulär ist? - Wenn zwischen Zeilen / Spalten lineare Abhängigkeiten existieren? - Wenn Rang der Matrix kleiner ist als die Dimension (Rang einer Matrix lässt sich sehr leicht ablesen..)

Ich finde das sind viele Kriterien die dazu dienen eine Matrix als singulär oder regulär eindeutig klassifizieren zu können. Vielleicht könnte man sagen (Vorschlag): "das man in der Regel eine Matrix relativ eindeutig als regulär / singulär einstufen kann" :)

if(x > 0) {}

ist eine FLOP, richtig? Eine "If-Bedingungen" ist kein FLOP, aber x > 0 müsste genau eine FLOP sein, oder?

Ich dachte der dominerende Term n^2 würde den Aufwand bestimmen, und somit wäre der Aufwand O(n^2)?

Vorschlag: Theoreme, Definitionen und Beispiele denselben Counter teilen lassen? Das hat den Vorteil, dass man, wenn man sich irgendwo im Skript befindet und Theorem x.y sucht und bei Definition x.z ist direkt weiß, ob man nach vorne oder nach hinten scrollen soll.

Benötigt man FLOPS, wenn man Ergebnisse zwischen speichern möchte?

Wie verhält sich das beim Bilden von multiplikativen Inversen?

Macht es nicht einen großen Unterschied ob man eine Multiplikation oder einen Addition betrachtet? Also ist eine Multiplikation nicht viel mehr Rechenaufwand als eine Addition?

Gibt es eine noch effizientere Suche, als das Intervallhalbierungsverfahren für sortierte Mengen?

Geht man dabei von einem "worst case" Szenario aus oder rechnet man mit einem "average case"?

Dieser ganze Eintrag ist zweimal hintereinander im Skript

Warum funktioniert das im singulären Fall nicht?

Welche Einschränkungen oder Herausforderungen könnten bei der Verwendung von Diagonalmatrizen in realen Anwendungen auftreten, insbesondere wenn die Daten nicht perfekt in dieser Form vorliegen?

Müsste das nicht (2.8) sein?

In der letzten Zeile müsste es $$a_{n,1} x_{1} + ... = b_{n}$$ heißen.

these should realy be \(l_{i,j}a_{j,k}^{(j)}\)

Liegt der Rechenaufwand einer Division bei einem FLOP, oder bei \(O(1)\) FLOPs?

Im Bus mit einem Kommilitonen haben wir uns überlegt, dass es an dieser Stelle wie folgt heißen müsste: a_ik^(j+1):=a_ik^(j)-l_ija_jk^(j) Und: b_i^(j+1):=b_i^(j)-l_ijb_j^(j) Könnte das vielleicht Peer-Reviewen?

Wie genau kommen wir auf diesen Rechenaufwand? Woher kommt das 1/3?

es sollte 2024/2025 sein

Das müsste hier "Anzahl der unbekannten Variablen übersteigt die der Gleichungen" heißen.

Das Bild wird nicht geladen. Anstelle vom Bild ist nur ein weißes Textfeld in dem "atelier/img/Times.pdf" steht. Ist des bei anderen auch oder nur bei mir?

Und im besten Fall?

Fehler: Bild / PDF wird nicht angezeigt

Wieso diese Bedingung? Laut z. B. Wikipedia sind bei der adjungierten Matrix alle Einträge komplex konjugiert, während man hier m. M. n. die Einträge auf der Hauptdiagonalen ausschließen würde

Woher kommt der Name Mantissenlänge?

Bei mir ist hier nur eine Abbildung zu sehen, fehlen die anderen noch?